Предисловие .................................................... xi
Краткий обзор книги ............................................ xi
Список сокращений ............................................. xxi

Глава 1. Введение ............................................... 1
1.1  Особые точки на комплексной плоскости ...................... 1
     1.1.1  Метод возмущений .................................... 2
     1.1.2  Метод, не использующий возмущения ................... 4
1.2  Свойство Пенлеве и шесть трансцендент ...................... 7
Глава 2. Анализ особых точек: тест Пенлеве ..................... 12
2.1  Метод Ковалевской-Гамбье .................................. 12
     2.1.1  Модель Лоренца ..................................... 13
     2.1.2  Уравнение Курамото-Сивашинского (КС) ............... 18
     2.1.3  Кубическое комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
            (КГЛЗ) ............................................. 21
     2.1.4  Осциллятор Дуффинга-ван дер Поля ................... 25
     2.1.5  Система Хенона-Хейлеса ............................. 26
2.2  Метод возмущений Фукса .................................... 32
2.3  Нефуксов метод, возмущений ................................ 36

Глава 3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений ...................................................... 37
3.1. Интегрируемые случаи ...................................... 38
     3.1.1  Первые интегралы и интегрирование модели Лоренца ... 38
       3.1.1.1  Случай (1, 1/2, 0) ............................. 40
       3.1.1.2  Случай (2, 1, 1/9) ............................. 40
       3.1.1.3  Случай (0, 1/3, r) ............................. 41
       3.1.1.4  Случай (1, 0, r) ............................... 42
     3.1.2  Общее решение уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ)
            в виде бегущей волны ............................... 43
     3.1.3  Общее решение нелинейного уравнения Шредингера
     (НУШ) в виде бегущей волны ................................ 45
3.2  Частично интегрируемые уравнения .......................... 49
     3.2.1  Редукция уравнений Курамото-Сивашинского и
            комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау третьей
            степени в переменных бегущей волны ................. 49
       3.2.1.1  Отсутствие первого интеграла ................... 50
       3.2.1.2  Подсчет произвольных постоянных ................ 50
     3.2.2  Эллиптические решения в переменных бегущей волны ... 53
       3.2.2.1  Необходимые условия для эллиптических решений .. 54
       3.2.2.2  Эллиптические решения .......................... 55
     3.2.3  Тригонометрические бегущие волны КС ................ 57
       3.2.3.1  Калибровочное преобразование ................... 57
       3.2.3.2  Полиномы по степеням th ........................ 59
     3.2.4  Тригонометрические решения в переменных бегущей
       волны уравнения КГЛЗ .................................... 63
       3.2.4.1  Полиномы по th ................................. 65
       3.2.4.2  Полиномы по th и sech .......................... 68
     3.2.5  Общий метод построения эллиптических решений
       с учетом переменных бегущей волны ....................... 73
       3.2.5.1  Класс эллиптических функций .................... 73
       3.2.5.2  Два результата Брио и Буке ..................... 74
       3.2.5.3  Метод нахождения всех эллиптических решений .... 75
       3.2.5.4  Приложение к уравнению КдФ ..................... 78
       3.2.5.5  Приложение к уравнению КС ...................... 79
       3.2.5.6  Приложение к уравнению КГЛЗ .................... 81
     3.2.6  Первый интеграл осциллятора Дуффинга-ван дер Поля .. 83
     3.2.7  Однозначные решения для космологической модели
            Бьянки IX .......................................... 84
     3.2.8  Результаты применения теории Неванлинны к КС и
            КГЛЗ ............................................... 87

Глава 4.  Уравнения в частных производных: тест Пенлеве ........ 90
4.1  О редукциях УЧП ........................................... 92
4.2  Солитонные уравнения ...................................... 94
4.3  Свойство Пенлеве для УЧП .................................. 97
4.4  Тест Пенлеве для УЧП ..................................... 100
     4.4.1  Оптимальная переменная при разложении в ряд
            Лорана ............................................ 101
     4.4.2  Интегрируемый случай. Пример КдФ .................. 103
     4.4.3  Частично интегрируемый случай. Пример KПП ......... 106

Глава 5. От теста к решениям УЧП в явном виде ................. 109
5.1  Глобальная информация от теста ........................... 109
5.2  Построение N-солитонных решений .......................... 110
5.3  Инструменты интегрирования ............................... 111
     5.3.1  Пара Лакса ........................................ 112
     5.3.2  Преобразование Дарбу .............................. 114
     5.3.3  Преобразование Крама .............................. 116
     5.3.4  Сингулярная часть преобразования .................. 117
     5.3.5  Формула нелинейной суперпозиции ................... 119
5.4  Выбор порядка пар Лакса .................................. 121
     5.4.1  Пары Лакса второго порядка и их преимущество ...... 121
     5.4.2  Пары Лакса третьего порядка ....................... 122
5.5  Метод сингулярного многообразия .......................... 123
     5.5.1  Алгоритм .......................................... 123
     5.5.2  Степень усечения и выбор переменной ............... 126
5.6  Приложение к интегрируемым уравнениям .................... 129
     5.6.1  Случай одного семейства: уравнения КдФ и
       Буссинеска ............................................. 129
       5.6.1.1  Случай уравнения КдФ .......................... 130
       5.6.1.2  Случай уравнения Буссинеска ................... 133
     5.6.2  Случай двух семейств: уравнение синус-Гордона и
       модифицированное уравнение КдФ ......................... 137
       5.6.2.1  Уравнение синус-Гордона ....................... 139
       5.6.2.2  Модифицированное уравнение Кортевега-
                де Фриза ...................................... 142
     5.6.3  Третий порядок: Савада-Котера и Каупа-
       Купершмидта ............................................ 145
       5.6.3.1  Помощь от классификации Гамбье ................ 146
       5.6.3.2  Структура особенностей уравнений СК и КК ...... 148
       5.6.3.3  Метод усечения с парой Лакса второго порядка .. 150
       5.6.3.4  Метод усечения с парой Лакса третьего
                порядка и уравнением G5 ....................... 151
       5.6.3.5  Метод усечения с парой Лакса третьего
                порядка и уравнением G25 ...................... 151
       5.6.3.6  Преобразование Беклунда ....................... 152
       5.6.3.7  Нелинейная формула суперпозиции ............... 153
5.7  Приложение к частично интегрируемым уравнениям ........... 155
     5.7.1  Случай одного семейства особых точек: уравнение
            Фишера ............................................ 156
     5.7.2  Случай двух семейств особых точек: уравнение
            Колмогорова-Петровского- Писку нова (КПП) ......... 159
5.8  Редукция метода сингулярного многообразия для ОДУ ........ 164
     5.8.1  От пары Лакса к изомонодромной деформации  ........ 164
     5.8.2  От преобразования Беклунда к бирациональному
            преобразованию .................................... 167
     5.8.3  От формулы нелинейной суперпозиции к
            контигуальному соотношению ........................ 169
     5.8.4  Переформулирование метода сингулярного
            многообразия: дополнительное дробно-рациональное
            преобразование .................................... 171

Глава 6. Интегрирование гамнльтоновых систем .................. 174
6.1  Различные определения интегрируемости .................... 174
6.2  Кубические гамильтонианы Хенона-Хейлеса .................. 176
     6.2.1  Вторые инварианты ................................. 176
     6.2.2  Разделение переменных ............................. 176
       6.2.2.1  Случай β/α = -6 (КдФ5) ........................ 177
       6.2.2.2  Случай β/α = -1 (СК) и -16 (КК) ............... 178
     6.2.3  Непосредственное интегрирование ................... 182
6.3  Гамильтонианы Хенона-Хейлеса четвертого порядка .......... 184
     6.3.1  Вторые инварианты ................................. 184
     6.3.2  Разделение переменных ............................. 185
       6.3.2.1  Случай 1 : 2 : 1 (система Манакова) ........... 186
       6.3.2.2  Случаи 1 : 6 : 1 и 1 : 6 : 8 .................. 187
       6.3.2.3  Случай 1 : 12 : 16 ............................ 191
     6.3.3  Свойство Пенлеве .................................. 192
6.4  Окончательная картина для ХХ3 и ХХ4 ...................... 195

Глава 7. Дискретные нелинейные уравнения ...................... 196
7.1  Общие положения .......................................... 196
7.2  Дискретное свойство Пенлеве .............................. 200
7.3  Дискретный тест Пенлеве .................................. 201
     7.3.1  Метод локализации сингулярности ................... 201
     7.3.2  Метод полиномиального роста ....................... 205
     7.3.3  Метод возмущения при переходе к непрерывному
            пределу ........................................... 208
7.4  Дискретное уравнение Риккати ............................. 210
7.5  Дискретные пары Лакса .................................... 211
7.6  Точные дискретизации ..................................... 213
     7.6.1  Уравнение Ермакова-Пинни .......................... 213
     7.6.2  Эллиптическое уравнение ........................... 217
7.7  Дискретные варианты нелинейного уравнения Шредингера ..... 219
7.8  Очерк о дискретных уравнениях Пенлеве .................... 220
     7.8.1  Аналитический подход .............................. 221
     7.8.2  Геометрический подход ............................. 222
     7.8.3  Краткие выводы по дискретным уравнениям Пенлеве ... 224

Глава 8. Часто задаваемые вопросы ............................. 226

Приложение А. Классические результаты Пенлеве и его
последователей ................................................ 231
А.1. Группы инвариантности, сохраняющие свойство Пенлеве ...... 232
А.2. Свойство неприводимости. Классические решения ............ 233
A.3. Классификации ............................................ 235
     А.3.1. ОДУ первого порядка высших степеней ............... 235
     А.3.2. ОДУ первой степени второго порядка ................ 236
     А.3.3. ОДУ второго порядка высших степеней ............... 237
     А.3.4. ОДУ первой степени третьего порядка ............... 237
     А.3.5. ОДУ первой степени четвертого порядка ............. 237
     А.3.6. ОДУ высших порядков первой степени ................ 239
     A.3.7. УЧП второго порядка первой степени ................ 239

Приложение В. Еще о трансцендентах Пенлеве .................... 240
B.1  Последовательность слияний ............................... 241
B.2  Инвариантность относительно дробно-рациональных
     преобразований ........................................... 245
B.3  Инвариантность относительно бирациональных
     преобразований ........................................... 246
     B.3.1. Нормальная последовательность ..................... 246
     В.3.2. Несимметричная последовательность ................. 248
B.4  Инвариантность относительно аффинных групп Вейля ......... 250
B.5  Инвариантность относительно небирациональных
     преобразований ........................................... 251
B.6  Гамильтонова структура ................................... 252
B.7  Пары Лакса ............................................... 253
B.8  Классические решения ..................................... 255

Приложение С. Краткие сведения об эллиптических функциях ...... 259
С.1. Обозначение Якоби и Вейерштрасса ......................... 260
С.2. Симметричное обозначение Хальфена ........................ 261

Приложение D. Основы теории Неванлинны ........................ 264

Приложение Е. Билинейный формализм ............................ 268
Е.1. Билинейное представление УЧП ............................. 268
Е.2. Билинейное представление преобразований Беклунда ......... 270

Приложение F. Алгоритм расчета рядов Лорана ................... 273

Предметный указатель .......................................... 275
Литература .................................................... 280