Обозначения ..................................................... 6
Предисловие ..................................................... 7

Глава 1. Введение в теорию топологических векторных
пространств ..................................................... 9
1.1  Линейные пространства и топология .......................... 9
1.2  Основные определения ...................................... 22
1.3  Примеры ................................................... 31
1.4  Выпуклые множества ........................................ 47
1.5  Конечномерные и нормируемые пространства .................. 56
1.6  Метризуемость ............................................. 64
1.7  Полнота и пополнение ...................................... 69
1.8  Компактные и предкомпактные множества ..................... 81
1.9  Линейные операторы ........................................ 89
1.10 Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма ................. 95
1.11 Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма ................. 107
1.12 Дополнения и задачи ...................................... 120
     Равномерные пространства ................................. 120
     Выпуклые компакты ........................................ 123
     Теоремы о неподвижных точках ............................. 125
     Пространства последовательностей ......................... 128
     Сопряженные к банаховым пространствам .................... 129
     Свойства сепарабельности ................................. 131
     Непрерывные селекции и продолжения ....................... 133
     Задачи ................................................... 134

Глава 2. Методы построения топологических векторных
пространств ................................................... 141
2.1  Проективные топологии .................................... 141
2.2  Примеры проективных пределов ............................. 145
2.3  Индуктивные топологии .................................... 153
2.4  Примеры индуктивных пределов ............................. 158
2.5  Конструкция Гротендика ................................... 168
2.6  Строгие индуктивные пределы .............................. 175
2.7  Индуктивные пределы с компактными вложениями ............. 178
2.8  Тензорные произведения ................................... 182
2.9  Ядерные пространства ..................................... 184
2.10 Дополнения и задачи ...................................... 191
     Свойства пространств D и D' .............................. 191
     Абсолютно суммирующие операторы .......................... 196
     Локальная полнота ........................................ 199
     Задачи ................................................... 201

Глава 3. Двойственность ....................................... 207
3.1  Поляры ................................................... 207
3.2  Топологии, согласующиеся с двойственностью ............... 214
3.3  Сопряженные операторы .................................... 219
3.4  Слабая компактность ...................................... 222
3.5  Бочечные пространства .................................... 230
3.6  Борнологические пространства ............................. 237
3.7  Сильная топология и рефлексивность ....................... 245
3.8  Критерии полноты ......................................... 254
3.9  Теорема о замкнутом графике .............................. 263
3.10 Компактные операторы ..................................... 272
3.11 Альтернатива Фредгольма .................................. 280
3.12 Дополнения и задачи ...................................... 285
     Бэровские пространства ................................... 285
     Теорема о борелевском графике ............................ 288
     Ограничивающие множества ................................. 289
     Теорема Джеймса .......................................... 290
     Топологические свойства локально выпуклых пространств .... 292
     Свойства Эберлейна-Шмульяна .............................. 296
     Базисы Шаудера ........................................... 297
     Минимальные пространства и степени прямой ................ 299
     Задачи ................................................... 303

Глава 4. Дифференциальное исчисление .......................... 323
4.1  Дифференцируемость по системе множеств ................... 325
4.2  Примеры .................................................. 334
4.3  Дифференцируемость и непрерывность ....................... 341
4.4  Дифференцируемость и непрерывность по подпространству .... 347
4.5  Производная композиции ................................... 350
4.6  Теорема о среднем ........................................ 364
4.7  Формула Тейлора .......................................... 366
4.8  Частные производные ...................................... 371
4.9  Обращение формулы Тейлора и цепного правила .............. 372
4.10 Дополнения и задачи ...................................... 386
     Теорема об обратной функции .............................. 386
     Многочлены ............................................... 387
     Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально
     выпуклых пространствах ................................... 390
     Предельный переход под знаком производной ................ 395
     Полнота пространств гладких отображений .................. 398
     Дифференцируемость через псевдотопологии ................. 405
     Гладкие функции на банаховых пространствах ............... 406
     Задачи ................................................... 407

Глава 5. Меры на линейных пространствах ....................... 411
5.1  Цилиндрические множества ................................. 411
5.2  Меры на топологических пространствах ..................... 414
5.3  Преобразования и сходимость мер .......................... 425
5.4  Цилиндрические меры ...................................... 432
5.5  Преобразование Фурье ..................................... 441
5.6  Ковариационные операторы и средние мер ................... 446
5.7  Гауссовские меры ......................................... 457
5.8  Квазимеры ................................................ 468
5.9  Достаточные топологии .................................... 472
5.10 Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова ..................... 475
5.11 Условия счетной аддитивности ............................. 483
5.12 Дополнения и задачи ...................................... 492
     Свертка .................................................. 492
     Законы 0-1 ............................................... 496
     Выпуклые меры ............................................ 499
     Центральная предельная теорема ........................... 502
     Безгранично делимые и устойчивые меры .................... 504
     Банаховы носители мер .................................... 513
     Бесконечномерные винеровские процессы .................... 516
     Прохоровские локально выпуклые пространства .............. 517
     Измеримые линейные и полилинейные функции ................ 523
     Связь различных σ-алгебр ................................. 532
     Радонизующие операторы ................................... 534
     Измеримые нормы .......................................... 535
     Задачи ................................................... 536

Комментарии ................................................... 543
Литература .................................................... 551
Предметный указатель .......................................... 577