Предисловие .................................................... 5 Глава 1. Практические основания геометрий ...................... 9 Введение ..................................................... 9 § 1. Отрезки ................................................ 5 § 2. Угол .................................................. 10 § 3. Прямоугольник ......................................... 18 § 4. Измерение ............................................. 20 § 5. Свойства численного выражения длины ................... 22 § 6. Фигуры ................................................ 23 Глава 2. Аксиоматические основзния геометрии .................. 26 § 7. Основные понятия ...................................... 26 § 8. Аксиомы планиметрии ................................... 28 § 9. Об аксиоме откладывания угла .......................... 35 § 10. Основные свойства равенства отрезков и углов ........ 37 § 11. Понятие фигуры ........................................ 39 Глава 3. Геометрия отрезков ................................... 46 § 12. О продолжении и наложении отрезков .................... 46 § 13. Алгебра отрезков ...................................... 49 § 14. Деление отрезка пополам ............................... 52 § 15. Измерение отрезков .................................... 55 § 16. Прямая и луч .......................................... 60 § 17. Координаты на прямой .................................. 64 Глава 4. Геометрия на плоскости ............................... 69 § 18. Углы, треугольники, иостроения ........................ 69 § 19. О взаимном расположении отрезков ...................... 76 § 20. Алгебра углов ......................................... 80 § 21. Параллельные отрезки и прямые ......................... 86 § 22. О плоских фигурах. Полуплоскость ...................... 94 § 23. Треугольники и многоугольники ......................... 98 § 24. Граница, внутренность, открытые множества ............ 104 § 25. Координаты на плоскости .............................. 107 § 26. Равенство фигур ...................................... 110 Глава 5. Отвлеченное понимание аксиоматики ................... 113 § 27. Разные понимания аксиоматики. Аксиомы как определения 113 § 28. Понятия интерпретации и непротиворечивости аксиоматики 117 § 29. Понятие изоморфизма. Полнота системы аксиом .......... 120 § 30. Числовая модель планиметрии .......................... 123 § 31. Величина ............................................. 131 § 32. Аксиоматический метод. Попятие группы, метрического и топологического пространств .......................... 141 Глава 6. Разные системы аксиом ............................... 142 § 33. Чем могут различаться системы аксиом ................. 142 § 34. Вариант системы аксиом планиметрии ................... 146 § 35. Система аксиом Гильберта ............................. 154 § 36. Аксиомы с понятием наложения ........................ 159 § 37. Незамкнутые системы аксиом ........................... 162 § 38. Независимость аксиом ................................ 169 § 39. Независимость аксиомы параллельных ................... 171 § 40. Геометрия Лобачевского ............................... 178 Глава 7. Геометрия пространства .............................. 181 § 41. Аксиомы стереометрии ................................. 131 § 42. Основания стереометрии в другом изложении ............ 186 § 43. Пространственные аксиомы Гильберта ................... 191 § 44. Общее понятие евклидова пространства ................. 193 § 45. Другие геометрии ..................................... 196 § 46. Векторное пространство и векторная аксиоматика евклидовой геометрии ................................. 204 § 47. Исследование аксиом евклидова пространства ........... 211 Глава 8. Площадь и объем ..................................... 216 § 48. Определение площади .................................. 213 § 49. Определение «площади» измерением ..................... 224 § 50. Аддитивность «площади» ............................... 227 § 51. Фигуры с определенной «площадью» ..................... 230 § 52. Площади равных многоугольных фигур ................... 232 § 53. Окончание доказательства теоремы I из § 48 ........... 238 § 54. Площадь немногоугольных фигур: теоремы II, IIа ....... 238 § 55. Еще о фигурах с определенной площадью ................ 242 § 56. Объем ................................................ 243 Глава 9. Очерк развития оснований геометрии .................. 249 § 57. Начало геометрии - до Евклида ........................ 249 § 58. «Начала» Евклида ..................................... 252 § 59. От Евклида до Лобачевского ........................... 257 § 60. Переворот в геометрии ................................ 261 § 61. От Евклида до Гильберта - от геометрической на глядности до геометрической бессмыслицы ........................ 265 § 62. Анализ предмета геометрии ............................ 270 § 63. Диалектика геометрии (в ее содержании) ............... 275 § 64 Диалектика геометрии (в ее построении) ................ 280 Дополнение. О геометрии реального пространства и конвенционализме ................................. 284 Список литературы ............................................ 287 Предметный указатель ......................................... 288