Окончил физический факультет Московского государственного университета (МГУ) (1941). Участник Великой Отечественной войны. С 1946 г. работал в Лаборатории измерительных приборов АН СССР (позднее Институт атомной энергии): младший, старший научный сотрудник, начальник сектора, зав. лабораторией новых методов ускорения, на базе которой впоследствии создан Институт ядерной физики СО АН. Одновременно преподавал в МГУ (1947–1949) и Московском инженерно-физическом институте (1956-1957).

В Сибирском отделении с 1957 г.: организатор и первый директор Института ядерной физики (ИЯФ) СО АН СССР, ставшего под его руководством крупнейшим ядерно-физическим центром страны. Основал и возглавил кафедры общей (1959) и ядерной (1962) физики в Новосибирском государственном университете (НГУ).

Выдающийся физик-ядерщик, главные труды которого посвящены теории уран-графитовых ядерных реакторов, теории и расчетам ускорителей заряженных частиц, физике высоких энергий, физике плазмы и проблеме управляемых термоядерных реакторов. Фундамент заложили его первые работы по исследованию стабилизированного сильноточного электронного пучка, созданию оригинальных безжелезных ускорителей и анализу резонансных явлений в циклических ускорителях.

Всемирную известность получили выдвинутые им идеи ускорителей со встречными электрон-электронными и электрон-позитронными пучками в физике высоких энергий, способ электронного охлаждения, применяемый в современных протонных и тяжелоионных ускорителях, метод термоизоляции горячей плазмы. Существенный вклад внес в технику протонных ускорителей, так называемую перезарядную инжекцию, получившую широкое распространение в мире после ее экспериментальной проверки. Метод удержания плазмы с помощью «магнитных пробок» послужил основой всех открытых термоядерных систем и сыграл важную роль в развитии физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза, создании мощных генераторов импульсных релятивистских пучков частиц. Под руководством Г. И. Будкера построены первые отечественные ускорители на встречных электрон-позитронных пучках. Подобные ускорители, ставшие визитной карточкой ИЯФ СО РАН, являются основными поставщиками информации о свойствах элементарных частиц.

Член Президиума СО АН СССР (1958–1975), член бюро Отделения ядерной физики АН СССР (1963–1977), секции Ученого совета Комитета по использованию атомной энергии при Совете Министров СССР. Председатель секции «Установки со встречными пучками» Научного совета АН СССР по проблемам ускорения заряженных частиц.

Лауреат Сталинской (1949), Ленинской (1967) и Государственной (2002, посмертно) премий.

Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1951), Ленина (1967), Октябрьской Революции (1975), медалями.

Имя Г. И. Будкера присвоено ИЯФ (1994), в СО РАН учреждены премия для молодых ученых и стипендия для студентов НГУ. Его имя носит аудитория НГУ, улица в Европейском центре ядерных исследований (ЦЕРН, Женева).